Следствие утверждает, что я скрылся, не проживая по месту регистрации. Как это влияет на меру пресечения?

Это одновременно вопрос установления фактических обстоятельств дела и их правильной юридической квалификации в рамках уголовного законодательства.

Да, вы можете ходатайствовать перед судом об отложении рассмотрения гражданского иска, если его подача потерпевшим в конце процесса не дала вам достаточного времени для подготовки.

Да, адвокат нужен сразу. Родственники сами не могут прийти к мужу в СИЗО без разрешения следователя, а адвокат по соглашению проходит к нему без такого разрешения. Он узнает статью и следователя, проверит, не подписал ли муж лишнего без защитника, и оценит, можно ли обжаловать арест или добиваться более мягкой меры пресечения.

Ваша ситуация требует немедленной оценки процессуального статуса, поскольку описанные вами действия указывают на возможное уголовное преследование.

Да, работать учителем можно, но не автоматически. Дело по ст. 115 УК РФ прекращено по примирению — это нереабилитирующее основание, поэтому Трудовой кодекс по общему правилу не допускает вас к педагогической работе. Исключение: для преступлений небольшой и средней тяжести против здоровья допуск дает решение комиссии по делам несовершеннолетних и защите их прав субъекта РФ. Получите это решение — и можно работать.